最近，在北京市自然科学基金重点研究专题项目《卡拉比-丘流形/范畴上的几何与拓扑》等经费的支持下，清华大学丘成桐数学科学中心副教授邱宇与英国巴斯大学教授金·阿拉斯泰尔(Alastair King)取得了新的科研进展，他们利用代数表示论里面的丛理论(cluster  theory)来研究低维拓扑中的经典辫子群(braid  group)在曲面上的推广——他们引入了丛交换群胚(Cluster  exchange  groupoids)，证明了一类稳定条件(stability  conditions)空间的单连通性。相关成果于11月6日在国际顶级数学期刊《数学新进展》上在线发表。

镜像对称最初在1990年由数学物理学家Candelas-de la Ossa-Green-Parkes发现，而后在纯数学中成为一个主流的研究方向。它解释了两种看上去很不一样的几何：辛几何与复几何之间的联系——两类流形作为镜像成对出现。

数学上来解释这一现象的猜想主要有两个：1.Kontsevich提出的同调镜像猜想）（代数解释）和2.Strominger-Yau-Zaslow提出SYZ猜想（几何解释）。其中，同调镜像猜想用范畴的语言预测，给定一对镜像流形（X,Y），辛流形X的导出Fukaya范畴与Y上的导出凝聚层(coherent sheaves)范畴是等价的三角范畴(triangulated categories)。

这里提到的流形，在经典的情况下是卡拉比-丘(Calabi-Yau)流形，这类流形也是在几何与物理上最重要和最有意思的情形。对应的三角范畴被称为卡拉比-丘（三角）范畴。

三角范畴上的稳定条件(stability conditions)由代数几何学家Bridgeland引入。它是弦理论中D膜上π条件的数学刻画。研究其的一个动机亦来自于同调镜像对称猜想。一个指导性的预测是流形X上的复结构的模空间可以由其镜像对偶流形Y的导出Fukaya范畴上的稳定条件给出。它可以被看做是镜像对称猜想的某种变形的版本。2013年，Bridgeland-Smith在这一预测上做出开创性的工作，证明了黎曼曲面S上的二次微分的模空间同构于S上对应的卡拉比-丘范畴D(S)上的稳定条件空间的商空间。这一结果由Smith在2018年的世界数学家大会上做了45分钟报告。

卡拉比-丘A2型稳定条件空间的商空间（庞加莱圆盘）及其骨架（蓝色有向图），阴影部分为一个基本区域

丛交换群胚中的四/五/六边关系在曲面上的表现

结合之前邱宇证明的一个结论：曲面S的对称群诱导了其上卡拉比-丘范畴D(S)上的对称群，金-邱得到了上述Bridgeland-Smith结果的加强版：D(S)上的稳定条件空间可以整体由S上的一类带框二次微分(framed quadratic differentials)的模空间的任一连通分支实现。进一步，金-邱成功了这类空间是单连通的（一种拓扑属性，即空间中任意的圈都能缩成一个点）。Bridgeland表示，这个结论对理解稳定条件空间和丛代数的联系与应用有重要的推动意义。

二次微分模空间中的圈，每一个八边形代表模空间中的一个点，即一个黎曼曲面上的二次微分。红色空心圆圈表示二次微分的

单零点，蓝色实心圆圈表示二次微分的极点，绿色实线为叶状结构（水平测地线），红色虚线为鞍轨线

这个工作结合了代数、几何与拓扑几个方向的工作。其中二次微分的模空间属于动力系统中的经典研究对象，曲面上的对称群是几何拓扑中的经典研究对象，而问题的主体来自于几何与物理。对（子）学科的交叉互动有着积极的意义。

该工作于11月6日在国际顶级数学期刊《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）上在线发表题目为《Cluster exchange groupoids and framed quadratic differentials》的论文。

《数学新进展》创刊于1961年。该期刊致力于发表纯数学各领域具有突破性的重要成果，是业内公认的数学类顶级期刊，具有很高的学术声誉。该刊与《数学年刊》（Annals of Mathematics）、《美国数学会杂志》（Journal ofAmerican Mathematical Society）、《数学学报》（Acta Mathematica）并称为数学学术期刊“四大天王”。